Question

橢圓C：的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF₁，PF₂，設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把-c代入橢圓方程得，解得，由已知過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，可得．再利用，及a²=b²+c²即可得出；
（2）設(shè)|PF₁|=t，|PF₂|=n，由角平分線的性質(zhì)可得，利用橢圓的定義可得t+n=2a=4，消去t得到，化為，再根據(jù)a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范圍；
（3）設(shè)P（x，y），不妨設(shè)y＞0，由橢圓方程，取，利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率，再利用斜率計算公式即可得到k₁，k₂，代入即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）把-c代入橢圓方程得，解得，
∵過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，∴．
又，聯(lián)立得解得，
∴橢圓C的方程為．
（2）如圖所示，設(shè)|PF₁|=t，|PF₂|=n，
由角平分線的性質(zhì)可得，
又t+n=2a=4，消去t得到，化為，
∵a-c＜n＜a+c，即，也即，解得．
∴m的取值范圍；．
（3）證明：設(shè)P（x，y），
不妨設(shè)y＞0，由橢圓方程，
取，則=，
∴k==．
∵，，
∴=，
∴==-8為定值．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．