Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sin2x（sinx+cosx）}{cosx}$=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）根據(jù)題意函數(shù)f（x）=$\frac{sin2x（sinx+cosx）}{cosx}$=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
∵2x$-\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}+2kπ$，$\frac{3π}{2}+2kπ$]上是單調(diào)遞減區(qū)間
即：$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得$[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]k∈Z$，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]k∈Z$．
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，
∴2x$-\frac{π}{4}$∈[$-\frac{7π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上，
當(dāng)2x$-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$時，即x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最大值為2；
當(dāng)2x$-\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$時，即x=$-\frac{π}{8}$時，f（x）取得最小值為$1-\sqrt{2}$；
故得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分別為2和$1-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．