Question

已知函數(shù)f（x）=a²x²+ax-

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（a＞0），函數(shù)g（x）=lnx．
（1）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，求a的值；
（2）在區(qū)間（0，1]上存在x₀，使f（x₀）＜g（x₀）（8），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)公共點(diǎn)為M（x₀，y₀），則f^′（x₀）=g^′（x₀），f（x₀）=g（x₀），聯(lián)立兩方程即可求解．
（2）設(shè)u（x）=f（x）-g（x），則u（x₀）＜0，進(jìn)而求解a的范圍．

解答：解：（1）依題意設(shè)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象的公共點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則

f′(x0)=g′(x0) f(x0)=g(x0)

?

2a2x0+a= 1 x ① a2x02+ax0- 7 4 =lnx0 ②

，
由①得（2ax₀-1）（ax₀+1）=0∵a＞0，x₀＞0∴x₀=

1

2a

，
代入②得a=

e

2

．
（2）令u（x）=f（x）-g（x）=a²x²+ax-lnx-

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，x∈（0，1]，
若存在x₀∈（0，1]，使f（x₀）＜g（x₀），即u（x₀）＜0成立，只需u（x）_min＜0，
由u'（x）=2a²x+a-

1

x

=

(2ax-1)(ax+1)

x

（x∈（0，1]，a＞0）知若0＜a≤

1

2

，
則u'（x）≤0對(duì)于x∈（0，1]恒成立，
∴u（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
而u（x）_min=u（1）=a²+a-

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＜0顯然成立，
∴0＜a≤

1

2

；
若

1

2

＜a＜

e

2

，同理u(x)min=u(

1

2a

)=ln2a-1＜0∴

1

2

＜a＜

e

2

；
若a≥

e

2

，同理u(x)min=u(

1

2a

)=ln2a-1≥0不合題意綜合得0＜a＜

e

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的圖象特征與斜率的關(guān)系，在解題過程中運(yùn)用了函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解方法，有一定難度，要求掌握好相關(guān)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系．