已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點

解析試題分析：(Ⅰ)點在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因為，且，解方程組可得。（Ⅱ）點在直線上，則可得。當直線的斜率存在時設(shè)斜率為，得到直線方程，聯(lián)立方程消掉得關(guān)于的一元二次方程。再根據(jù)韋達定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。因為為中點，根據(jù)點的橫坐標解得。因為故可得直線的斜率，及其含參數(shù)的方程。分析可得直線是否恒過定點。注意還要再討論當直線的斜率不存在的情況。
試題解析：解：（Ⅰ）因為點在橢圓上，所以，
所以，                   1分
因為橢圓的離心率為，所以，即，    2分
解得，              4分
所以橢圓的方程為.                        5分
（Ⅱ）設(shè)，，
①當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，
由得， 7分
所以，                             8分
因為為中點，所以，即.
所以，                              9分
因為直線，所以，
所以直線的方程為，即 ，
顯然直線恒過定點.                           11分
②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點.                     13分
綜上所述直線恒過定點.                       14

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知平面五邊形關(guān)于直線對稱（如圖（1）），，，將此圖形沿折疊成直二面角，連接、得到幾何體（如圖（2））

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的所成角的正切值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.
（Ⅰ）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；
（Ⅱ）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過如下五個點中的三個點：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點為橢圓的左頂點，為橢圓上不同于點的兩點，若原點在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設(shè)點A關(guān)于x軸的
對稱點為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點，并求出此定點坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，過橢圓上的一點作軸的垂線交軸于點，若點滿足，，連結(jié)交于點，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案