已知橢圓)過點,且橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若動點在直線上,過作直線交橢圓兩點,且為線段中點,再過作直線.證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標.

(Ⅰ)(Ⅱ)直線恒過定點

解析試題分析:(Ⅰ)點在橢圓上,將其代入橢圓方程,又因為,且,解方程組可得。(Ⅱ)點在直線上,則可得。當直線的斜率存在時設(shè)斜率為,得到直線方程,聯(lián)立方程消掉得關(guān)于的一元二次方程。再根據(jù)韋達定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。因為中點,根據(jù)點的橫坐標解得。因為故可得直線的斜率,及其含參數(shù)的方程。分析可得直線是否恒過定點。注意還要再討論當直線的斜率不存在的情況。
試題解析:解:(Ⅰ)因為點在橢圓上,所以
所以,                   1分
因為橢圓的離心率為,所以,即,    2分
解得,              4分
所以橢圓的方程為.                        5分
(Ⅱ)設(shè),
①當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,,
, 7分
所以,                             8分
因為中點,所以,即.
所以,                              9分
因為直線,所以
所以直線的方程為,即 ,
顯然直線恒過定點.                           11分
②當直線的斜率不存在時,直線的方程為,
此時直線軸,也過點.                     13分
綜上所述直線恒過定點.                       14

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知平面五邊形關(guān)于直線對稱(如圖(1)),,,將此圖形沿折疊成直二面角,連接得到幾何體(如圖(2))

(1)證明:平面;
(2)求平面與平面的所成角的正切值.

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如圖,已知橢圓 的離心率為 ,點 為其下焦點,點為坐標原點,過 的直線 (其中)與橢圓 相交于兩點,且滿足:.

(1)試用  表示
(2)求  的最大值;
(3)若 ,求  的取值范圍.

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在平面直角坐標系中,已知點,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.
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已知橢圓經(jīng)過如下五個點中的三個點:,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點為橢圓的左頂點,為橢圓上不同于點的兩點,若原點在的外部,且為直角三角形,求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:的一個焦點是(1,0),兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點Q(4,0)且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點,設(shè)點A關(guān)于x軸的
對稱點為A1.求證:直線A1B過x軸上一定點,并求出此定點坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為且與雙曲線有共同焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線,求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,過橢圓上的一點軸的垂線交軸于點,若點滿足,,連結(jié)于點,求證:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓,橢圓的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓上, ,求直線的方程.

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已知動圓過定點P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點C在l上.
(1)求動圓圓心的軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問:△ABC能否為正三角形?若能,求點C的坐標;若不能,說明理由.

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