如圖,已知橢圓:
的離心率為
,點
為其下焦點,點
為坐標原點,過
的直線
:
(其中
)與橢圓
相交于
兩點,且滿足:
.
(1)試用 表示
;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求
的取值范圍.
(1);(2)離心率
的最大值為
;(3)
的取值范圍是
.
解析試題分析:(1)設,聯(lián)立橢圓與直線的方程
,消去
得到
,應用二次方程根與系數的關系得到
,
,然后計算得
,將其代入
化簡即可得到
;(2)利用(1)中得到的
,即
(注意
),結合
,化簡求解即可得出
的最大值;(3)利用
與
先求出
的取值范圍,最后根據(1)中
,求出
的取值范圍即可.
試題解析:(1)聯(lián)立方程消去
,化簡得
1分
設,則有
,
3分
∵
∴ 5分
∴即
6分
(2)由(1)知∴
,∴
8分
∴ ∴離心率
的最大值為
10分
(3)∵ ∴
∴
12分
解得 ∴
即
∴的取值范圍是
14分
考點:1.橢圓的標準方程及其性質;2.二次方程根與系數的關系.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點為雙曲線
的一個焦點,且兩條曲線都經過點
.
(1)求這兩條曲線的標準方程;
(2)已知點在拋物線上,且它與雙曲線的左,右焦點構成的三角形的面積為4,求點
的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
拋物線在點
,
處的切線垂直相交于點
,直線
與橢圓
相交于
,
兩點.
(1)求拋物線的焦點
與橢圓
的左焦點
的距離;
(2)設點到直線
的距離為
,試問:是否存在直線
,使得
,
,
成等比數列?若存在,求直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
(
)過點
,且橢圓
的離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若動點在直線
上,過
作直線交橢圓
于
兩點,且
為線段
中點,再過
作直線
.證明:直線
恒過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個焦點為
,過點
且垂直于長軸的直線被橢圓
截得的弦長為
;
為橢圓
上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,
且
,求四邊形
的面積的最大值和最小值.
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