Question

過點(diǎn)（-2，0）的直線l與拋物線y=

x2

2

相交于兩點(diǎn)，且在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直，則直線l的斜率k等于（　　）

• A、-

  1

  6

• B、-

  1

  4

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)拋物線y=

x2

2

，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=

x2

2

得：x²-2kx-4k=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理和直線垂直的性質(zhì)能求出直線的斜率．

解答： 解：對(duì)拋物線y=

x2

2

，y′=x，
l的方程是y=k（x+2），代入y=

x2

2

得：x²-2kx-4k=0，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

△=4k2+16k＞0 x1x2=-4k

，
而在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直即x₁x₂=-1．
∴k=

1

4

且滿足△＞0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意拋物線性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．