Question

函數(shù)f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，求a的取值范圍；
（III）求證：ln(2×3×…×2013)

1

1007

＜2013．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)定義域，f′（x），由f（x）在x=1處取得極值，得f′（1）=0，由此可得a值，然后代入驗(yàn)證；
（II）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，所以xlnx-ax²-x＜-x，即xlnx-ax²＜0恒成立，分離參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=

1

e

，所以

lnx

x

≤

1

e

，從而有l(wèi)nx≤

x

e

＜x，即lnx＜x，據(jù)此不等式可得ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，對(duì)各式累加，再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可證明；

解答：解：（I）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx-2ax，
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，
所以f′（1）=0，即-2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在x=1處取得極值．
所以a=0．
（II）由題意，得xlnx-ax²-x＜-x，即xlnx-ax²＜0恒成立，
因?yàn)閤∈（0，+∞），所以a＞

lnx

x

，
設(shè)h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上為增函數(shù)；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)；
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以a＞

1

e

．
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=

1

e

，所以

lnx

x

≤

1

e

，所以lnx≤

x

e

＜x，即lnx＜x，
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+…+ln2013＜1+2+3+…+2013，
所以ln（1×2×3×…×2013）＜

2013(1+2013)

2

=2013×1007，即

1

1007

•ln（1×2×3×…×2013）＜2013，
所以ln(2×3×…×2013)

1

1007

＜2013．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、極值，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)恒成立往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值解決，而不等式的證明常借助前面結(jié)論，如最值等．