
已知橢圓
+=1(a>b>0)的離心率為e=
,且a+b=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,求證:點(diǎn)(m,k)在直線y=2x-
上.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意可得
解得即可.
(2)由(1)知:A(-2,0),B(2,0),D(0,1),可得直線AD的方程為
y=x+1,由題意直線BP的方程為y=k(x-2),k≠0,且
k≠±,聯(lián)立可得點(diǎn)M的坐標(biāo).設(shè)P(x
1,y
1),由直線BP的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo).設(shè)N(x
2,0),則由P,D,N三點(diǎn)共線得,k
DP=k
DN.即可證明.
解答:
(1)解:由
解得
,
∴橢圓C 的方程為
+y2=1.
(2)證明:由(1)知:A(-2,0),B(2,0),D(0,1),
∴直線AD的方程為
y=x+1,
由題意,直線BP的方程為y=k(x-2),k≠0,且
k≠±,
由
解得
M(, ).
設(shè)P(x
1,y
1),則由
,得(4k
2+1)x
2-16k
2x+16k
2-4=0.
∴
2x1=,
∴
y1=k(x1-2)=-.
∴
P(, -).
設(shè)N(x
2,0),則由P,D,N三點(diǎn)共線得,k
DP=k
DN.
即
=,
∴
x2==,
∴
N(, 0).
∴MN的斜率
m==.
∴
k=2m-,即點(diǎn)(m,k)在直線
y=2x-上.
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得跟與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三點(diǎn)共線,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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y=
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下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)為( 。
A、直線m平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則m∥α |
B、若直線m垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則m⊥α |
C、若平面α⊥平面β,直線m在α內(nèi),則m⊥β |
D、若直線m⊥平面α,n在平面α內(nèi),則m⊥n |
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3-
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(3)若x∈(0,e
2]時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象恰好位于兩條平行直線l
1:y=kx;l
2:y=kx+m之間,當(dāng)l
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