Question

設(shè)、分別是橢圓 的左、右焦點，．

（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點，且，求的值；

（Ⅲ）設(shè)P是該橢圓上的一個動點，求的周長的最大值.

 

Answer 1

（1）-2,1；（2）-7；（3）8.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的方程，求出焦點的坐標(biāo)，化簡的解析式為，結(jié)合x∈[-2，2]，求得它的最值．

（Ⅱ）設(shè)，由，用λ 表示 ，把代入橢圓的方程求得λ值．

（Ⅲ）因為，可得△PBF1的周長．

試題解析：（Ⅰ）易知

所以，設(shè)，則

因為，故當(dāng)，即點為橢圓短軸端點時，有最小值

當(dāng)，即點為橢圓長軸端點時，有最大值

（Ⅱ）設(shè)C（）， 由得

，

又所以有解得

（Ⅲ）因為|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

∴的周長≤4＋|BF2|＋|B|≤8．

所以當(dāng)P點位于直線BF2與橢圓的交點處時，周長最大，最大值為8.

考點：橢圓的定義、性質(zhì)的應(yīng)用.