Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在區(qū)間上[1，+∞）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在[-1，a]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在區(qū)間上[1，+∞）是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[1，+∞）恒成立解；
（2）根據(jù)$x=-\frac{1}{3}$是f（x）的極值點(diǎn)，求出a的值，然后求在[-1，a]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x，求導(dǎo)得f′（x）=3x²-2ax-3，
f（x）在區(qū)間上[1，+∞）是增函數(shù)，則f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，
即$a≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，
$a≤{[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}}$，
$x-\frac{1}{x}$在[1，+∞）為增函數(shù)，
則${（x-\frac{1}{x}）_{min}}=0$，
∴a≤0
（2）f′（x）=3x²-2ax-3，$x=-\frac{1}{3}$是f（x）的極值點(diǎn)，
則${f^'}（-\frac{1}{3}）=3×\frac{1}{9}+2a×\frac{1}{3}-3=0$，
解得a=4，f（x）=x³-4x²-12，
${f^'}（x）=3{x^2}-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，x=-\frac{1}{3}，3$，x，f（x），f′（x）變化如下表：

x	-1	$（-1，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，3）$	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函數(shù)	$\frac{14}{27}$	減函數(shù)	-18	增函數(shù)	-12

所以$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{3}）=\frac{14}{27}$，f（x）_min=f（3）=-18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．