Question

3．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax²-（1+2a）x+2，
（1）證明：函數(shù)y=f（x）一定有零點(diǎn)．
（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，結(jié)合判別式，可得結(jié)論；
（2）由題意得ax²-（1+2a）x+2=0在區(qū)間[-1，1]上有解，可得-1≤$\frac{1}{a}$≤1，即可求a的取值范圍．

解答 （1）證明：a=0時(shí)，f（x）=-x+2=0，x=2；
a≠0時(shí)，△=（1+2a）²-8a=（1-2a）²≥0，
∴函數(shù)y=f（x）一定有零點(diǎn)．
（2）解：由題意得ax²-（1+2a）x+2=0在區(qū)間[-1，1]上有解，
∴（x-2）（ax-1）=0在區(qū)間[-1，1]上有解，
∴-1≤$\frac{1}{a}$≤1，
∴a≤-1或a≥1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念以及利用函數(shù)思想解決方程根的存在性問題．