Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當函數(shù)g(x)=

f(x)-kx

ex

，x∈[e，3]的最大值為

1

e2

時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)定義域為（0，+∞），求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求導函數(shù)g′（x）=

k(lnx+x-xlnx)

ex

，令u（x）=lnx+x-xlnx，求導函數(shù)u′（x）=

1

x

-lnx，可得x∈[e，3]時，lnx+x-xlnx＞0，對k討論，利用函數(shù)g（x）的最大值為

1

e2

，即可求得k的值．

解答：解：（1）由題意知函數(shù)定義域為（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
當k=0時，f（x）=0，所以函數(shù)無單調(diào)區(qū)間；
當k＞0時，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，則x＞

1

e

，所以函數(shù)f（x）在（0，

1

e

]上單調(diào)遞減，在[

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增；
當k＜0時，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，則0＜x＜

1

e

，所以函數(shù)f（x）在（0，

1

e

]上單調(diào)遞增，在[

1

e

，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）因為g(x)=

f(x)-kx

ex

，所以g′（x）=

k(lnx+x-xlnx)

ex

令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=

1

x

-lnx
∵x∈[e，3]，∴l(xiāng)nx≥1，

1

x

≤

1

e

＜1，∴u′（x）＜0，即u（x）為減函數(shù)，可得u（x）_min=u（3）=3-3ln3=ln

e3

9

＞0
∴x∈[e，3]時，lnx+x-xlnx＞0
當k＞0時，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]時為增函數(shù)，g（x）_max=g（3）=

1

e2

，所以k=

e

3(ln3-1)

；
當k=0時，g（x）的最大值是0，不合題意；
當k＜0時，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上為減函數(shù)，g（x）的最大值是0，不合題意
故當函數(shù)g（x）的最大值為

1

e2

時，k的值為

e

3(ln3-1)

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．