【題目】在三棱錐中, 是邊長為的等邊三角形, 中點, 中點.

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值的大小;

(Ⅲ)在棱上是否存在一點,使得的余弦值為?若存在,指出點上的位置;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)在棱上靠近點的三等分點處.

【解析】試題分析:(Ⅰ)連接, 中, 中點,易得,同理可得: ,進而利用面面垂直的判定定理,即可證明平面平面;

(Ⅱ)以為原點,以方向分別為, , 軸正方向建立空間直角坐標系,求得平面的一個法向量為,利用向量的夾角公式,即可求解線面角的正弦值;

(Ⅲ)設再求得平面的一個法向量為和面的一個法向量為,利用向量的夾角公式,求解的值,從而確定點的位置.

試題解析:(Ⅰ)證明:連接, 中, 中點,易得

同理可得: , ,又∵,

,又∵平面,又∵平面

∴平面平面

(Ⅱ)以為原點,以方向分別為, , 軸正方向建立空間直角坐標系,

, , , ,

設平面的一個法向量為,則有, ,

,設直線與面所成的角為,

(Ⅲ)設在棱上存在點,設

設平面的一個法向量為

則有,且,取, ,

,

平面,

∴設面的一個法向量為

設面與面所成二面角為

,

解得: (舍),∴. 

所以存在點且當在棱上靠近點的三等分點處,滿足題意.

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年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

年份代號x

1

2

3

4

5

6

7

銷售價格y

3

3.4

3.7

4.5

4.9

5.3

6

(1)求關于的線性回歸方程;

(2)利用(1)中的回歸方程,分析2010年至2016年該市新開樓盤平均銷售價格的變化情況,并預測該市2018年新開樓盤的平均銷售價格.

附:參考數(shù)據(jù)及公式: , .

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