Question

9．（重點(diǎn)中學(xué)做）甲乙兩個(gè)人參加射擊訓(xùn)練，射擊一次中靶的概率分別是p₁，p₂，其中$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+mx（x∈R）的兩極值點(diǎn)，函數(shù)g（x）=sinx-2x+2在區(qū)間[0，2π]上的最大值為$\frac{1}{{p}_{1}}$．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）兩人各射擊1次，求兩人中至少中靶1次的概率．

Answer 1

分析 （1）分別求得導(dǎo)數(shù)，由單調(diào)性可得最值，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到所求值；
（2）運(yùn)用分類討論和間接法，即可得到所求概率．

解答 解：（1）g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=cosx-2＜0，
即有g(shù)（x）在[0，2π]遞減，可得g（x）_max=g（0）=2，
$\frac{1}{{p}_{1}}$=2，可得p₁=$\frac{1}{2}$，f′（x）=x²-5x+m，
令f′（x）=0，可得$\frac{1}{{p}_{1}}$+$\frac{1}{{p}_{2}}$=5，
解得p₂=$\frac{1}{3}$；
（2）兩人中至少中靶1次分兩種情況：
①恰好中靶一次的概率為$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
②恰好中靶兩次的概率為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
則兩人中至少中靶1次的概率為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
或兩人均未中靶的概率為（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
則兩人中至少中靶1次的概率為1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，考查直接法和間接法求概率，屬于基礎(chǔ)題．