Question

20．已知在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，M、N分別為PD、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAB；
（2）當(dāng)PA=AD=2，AB⊥AD時(shí)，求點(diǎn)N到平面ABM的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BD，運(yùn)用線面平行的判定定理，即可得證；
（2）取AD的中點(diǎn)H，連接MH，運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)和等積變換法，由V_M-ABN=V_N-ABM，運(yùn)用體積公式計(jì)算即可得到所求距離．

解答 （1）證明：連接BD，
由M為PD的中點(diǎn)，N為BD的中點(diǎn)，可得MN∥PB，
MN?平面PAB，PB?平面PAB，
則MN∥平面PAB；
（2）解：取AD的中點(diǎn)H，連接MH，
由PA⊥平面ABCD，可得MH⊥平面ABCD，MH=$\frac{1}{2}$PA=1，
AB⊥AD，AB⊥PA，可得AB⊥平面PAD，
即有AB⊥AM，
設(shè)N到平面ABM的距離為d，
由體積公式可得V_M-ABN=V_N-ABM，
即有$\frac{1}{3}$•MH•S_△ABN=$\frac{1}{3}$d•S_△ABM，
即為$\frac{1}{3}$•1•$\frac{1}{2}$•AB•1=$\frac{1}{3}$d•$\frac{1}{2}$•AB•$\sqrt{2}$，
解得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則點(diǎn)N到平面ABM的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定和點(diǎn)到平面的距離的求法，注意運(yùn)用線面平行的判定定理和等積變換法，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．