Question

設f(x)=

1

2

ax2-x-lnx
（1）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在[2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的定義域及函數f（x）的導函數，在定義域下令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間，在定義域下令導函數小于0得到函數的遞減區(qū)間．
（2）求導數，結合函數f（x）在[2，+∞）上單調遞增，得到導函數f′（x）≥0在[2，+∞）上，則可求a的取值范圍．

解答： 解：由于f（x）=x²-x-lnx（x＞0）
則f′(x)=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

令f′(x)≥0⇒

(2x-1)(x-1)≥0 x＞0

⇒x≥1
令f′(x)＜0⇒

(2x-1)(x-1)＜0 x＞0

⇒0＜x＜1
所以f（x）在（0，1）單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增；
（2）f′(x)=ax-1-

1

x

=

ax2-x-1

x

由f′（x）≥0，又x＞0，
所以ax²-x-1≥0，即a≥

1

x2

+

1

x

=(

1

x

+

1

2

)2-

1

4

由x∈[2，+∞)⇒0＜

1

x

≤

1

2

所以(

1

x2

+

1

x

)max=

3

4

即a∈[

3

4

，+∞)
得a≥

3

4

．

點評：求函數的單調區(qū)間，應該先求出函數的導函數，令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間，令導函數小于0得到函數的遞減區(qū)間．