【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為離心率為,兩準線之間的距離為8,點在橢圓上,且位于第一象限,過點作直線的垂線,過點作直線的垂線.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線的交點在橢圓上,求點的坐標.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由橢圓的離心率公式求得,由橢圓的準線方程,則,即可求得和的值,則,即可求得橢圓方程;(2)設(shè)點坐標,分別求得直線的斜率及直線的斜率,則可求得及的斜率及方程,聯(lián)立求得點坐標,由滿足橢圓方程,求得,結(jié)合在橢圓E上,聯(lián)立即可求得點坐標.
試題解析:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因為橢圓E的離心率為,兩準線之間的距離為8,所以,,解得,于是,因此橢圓E的標準方程是.
(2)由(1)知,,.設(shè),因為為第一象
限的點,故.當時,與相交于,與題設(shè)不符.
當時,直線的斜率為,直線的斜率為, 直線的斜率為,直線的斜率為,
從而直線的方程,① 直線的方程,②
由①②,解得,所以.因為點在橢圓上,由對稱性,得,即或.又在橢圓E上,故.
由,解得;,無解.因此點P的坐標為.
【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上,還是兩個坐標軸都有可能;②設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ;③找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實數(shù),若不能,請說明理由;
(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對任意,不等式恒成立.
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【題目】為探索課堂教學(xué)改革,江門某中學(xué)數(shù)學(xué)老師用傳統(tǒng)教學(xué)和“導(dǎo)學(xué)案”兩種教學(xué)方式,在甲、乙兩個平行班進行教學(xué)實驗。為了解教學(xué)效果,期末考試后,分別從兩個班級各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,得到如下莖葉圖。記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”。
(Ⅰ)請大致判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳,并說明理由;
(Ⅱ)構(gòu)造一個教學(xué)方式與成績優(yōu)良列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?
(附:,其中是樣本容量)
獨立性檢驗臨界值表:
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【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點和.設(shè)線段, 的中點分別為,求證:直線恒過一個定點;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
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【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實施了機動車車尾號限行,我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機抽查了人,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | ||||||
贊成人數(shù) |
()完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖.
()若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機選取人進行追蹤調(diào)查,求恰有人不贊成的概率.
()在在條件下,再記選中的人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,在Rt中, ,點、分別在線段、上,且,將沿折起到的位置,使得二面角的大小為.
(1)求證:;
(2)當點為線段的靠近點的三等分點時,求與平面 所成角的正弦值.
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【題目】在中, 分別是角的對邊,已知,現(xiàn)有以下判斷:
①不可能等于15; ②;
③作關(guān)于的對稱點的最大值是;
④若為定點,則動點的軌跡圍成的封閉圖形的面積是。請將所有正確的判斷序號填在橫線上______________。
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求的最小值;
(2)若在上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin 2x-cos2x.
(1)求f(x)的周期和最小值;
(2)將函數(shù)f(x)的圖像上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍(縱坐標不變),再把所得圖像上的所有點向上平移個單位,得到函數(shù)g(x)的圖像,當時,求g(x)的值域.
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