Question

（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）設(shè)（為非零整數(shù)，），是否存在確定的值，使得對任意，有恒成立．若存在求出的值，若不存在說明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）λ=﹣1；

【解析】

試題分析：1．錯(cuò)位相減法求和的方法為：:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q（q≠1）設(shè)Sn＝a1b1＋a2b2＋ ＋anbn①，則qSn＝a1b2＋a2b3＋ ＋an－1bn＋anbn＋1②，

①－②得：（1－q）Sn＝a1b2＋d（b2＋ ＋bn）－anbn+1，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題．

錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的一種重要方法，是高考中的熱點(diǎn)問題，值得注意的是，這種方法運(yùn)算過程復(fù)雜，運(yùn)算量大，應(yīng)加強(qiáng)對解題過程的訓(xùn)練，重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)．

試題解析：

（Ⅰ）證明：由已知，,

即（n≥2，n∈N*），且．

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

∴． （3分）

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知， 4分

設(shè)它的前n項(xiàng)和為

∴

兩式相減可得：

所以 7分

（Ⅲ）【解析】
∵，∴， 8分

要使恒成立，則恒成立

∴恒成立，

∴恒成立． 10分

（�。┊�(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值為1，∴λ＜1．

（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞﹣恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，﹣有最大值

﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=﹣1．

綜上所述，存在λ=﹣1，使得對任意n∈N*，都有． 14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列定義、通項(xiàng)、數(shù)列求和等綜合應(yīng)用．