Question

（2013•黃浦區(qū)二模）某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間x（小時）之間滿足y=

ax x2+1 ，(0＜x＜1) a•2x-1 4x-1+1 ，(x≥1)

，其對應曲線（如圖所示）過點(2，

16

5

)．
（1）試求藥量峰值（y的最大值）與達峰時間（y取最大值時對應的x值）；
（2）如果每毫升血液中含藥量不少于1微克時治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持多長的有效時間？（精確到0.01小時）

Answer 1

分析：（1）由曲線過點(

1

2

，

16

5

)，代入曲線方程，求出a值，確定函數(shù)關系式；再分別求出分段函數(shù)各段上的最大值進行比較，從而得出藥量峰值（y的最大值）與達峰時間；
（2）把y=1分別代入兩個函數(shù)關系式求時間，再求時間差，即可得出服用該藥一次后能維持多長的有效時間．

解答：解：（1）由曲線過點(

1

2

，

16

5

)，可得

a× 1 2

1 4 +1

=

16

5

，故a=8…（2分）
當0＜x＜1時，y=

8x

x2+1

＜

8x

2x

=4，…（3分）
當x≥1時，設2^x-1=t，可知t≥1，y=

8×2x-1

4x-1+1

=

8t

t2+1

≤

8t

2t

=4（當且僅當t=1時，y=4）…（5分）
綜上可知y_max=4，且當y取最大值時，對應的x值為1
所以藥量峰值為4mg，達峰時間為1小時．                   …（6分）
（2）當0＜x＜1時，由

8x

x2+1

=1，可得x²-8x+1=0，
解得x=4±

15

，又4+

15

＞1，故x=4-

15

．             …（8分）
當x≥1時，設2^x-1=t，則t≥1，
由

8×2x-1

4x-1+1

=1，可得

8t

t2+1

=1，解得t=4±

15

，
又t≥1，故t=4+

15

，所以2x-1=4+

15

，
可得x=log2(4+

15

)+1．　　　　　　　　 …（12分）
由圖象知當y≥1時，對應的x的取值范圍是[4-

15

，log2(4+

15

)+1]，
∵log2(4+

15

)+1-(4-

15

)≈3.85，
所以成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持大約3.85小時的有效時間．  …（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及分段函數(shù)求解析式和指數(shù)不等式的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．