Question

14．已知點(diǎn)M到點(diǎn)F（3，0）的距離比點(diǎn)M到直線x+4=0的距離小1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若曲線C上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：x-4y-12=0對(duì)稱，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（3，0）的距離比點(diǎn)M到直線x+4=0的距離小1，可知：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（3，0）的距離與到直線x+3=0的距離相等．根據(jù)拋物線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以F（3，0）為焦點(diǎn)，x=-3為準(zhǔn)線的拋物線，即可得出；
（2）通過(guò)設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）可知（y₁+y₂）（y₁-y₂）=12（x₁-x₂），利用直線AB的斜率為-4可知可知AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（3，0）的距離比點(diǎn)M到直線x+4=0的距離小1，
∴動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（3，0）的距離與到直線x+3=0的距離相等．
根據(jù)拋物線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以F（3，0）為焦點(diǎn)，x=-3為準(zhǔn)線的拋物線，
∴y²=4×3x，即y²=12x…．（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則代入作差，可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=12（x₁-x₂），
又∵直線AB的斜率為-4，
∴-4（y₁+y₂）=12，
∴AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴直線AB的方程為：y+$\frac{3}{2}$=-4（x-$\frac{7}{2}$），即4x+y-$\frac{45}{2}$=0，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線AB與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義，考查點(diǎn)差法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．