Question

19． 已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，E是線段CC₁的中點(diǎn)，連接AE，B₁E，AB₁，B₁C，BC₁，得到的圖形如圖所示．
（I）證明BC₁⊥平面AB₁C；
（II）求二面角E-AB₁-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AC⊥BC，以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BC₁⊥平面AB₁C．
（Ⅱ）求出平面AB₁C的法向量，和平面AB₁E的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB₁-C的大小．

解答 證明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，
則B（0，1，0），C₁（0，0，1），A（1，0，0），B₁（0，1，1），C（0，0，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0-1+1=0，
∴BC₁⊥AC，BC₁⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BC₁⊥平面AB₁C．
解：（Ⅱ）∵BC₁⊥平面AB₁C，∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，1）是平面AB₁C的法向量，
E（0，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面AB₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
設(shè)二面角E-AB₁-C的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°．
∴二面角E-AB₁-C的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．