Question

若 n-m表示[m，n]的區(qū)間長度，函數(shù)f(x)=

a-x

+

x

(a＞0)的值域的區(qū)間長度為2(

2

-1)，則實數(shù)a的值為

4

．

Answer 1

分析：在定義域條件下，將已知式子的兩邊平方可化為y2=2

-(x- a 2 )2+ a2 4

+a，由二次函數(shù)的單調(diào)性及0≤x≤a，可求出函數(shù)f（x）的值域，進而可求出a的值．

解答：解：首先求函數(shù)f（x）的定義域，∵

a-x≥0 x≥0

，∴0≤x≤a．
所以函數(shù)f（x）的定義域為{x|0≤x≤a}．
將y=

a-x

+

x

的兩邊平方得：y2=a-x+x+2

x(a-x)

，
即y2=2

-(x- a 2 )2+ a2 4

+a，
由二次函數(shù)的單調(diào)性及0≤x≤a得
0≤-(x-

a

2

)2+

a2

4

≤

a2

4

，
∴a≤y²≤2a，∴

a

≤y≤

2a

，
∴函數(shù)f（x）的值域為[

a

，

2a

]．
由已知函數(shù)f(x)=

a-x

+

x

(a＞0)的值域的區(qū)間長度為2(

2

-1)，
∴(

2

-1)

a

=2(

2

-1)，
∴

a

=2，解得a=4．
故實數(shù)a的值為4．
故答案為4．

點評：本題考查了函數(shù)的值域，將含有根號的等式的兩邊平方及利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是常用的方法．