已知曲線C：y=
x3
3
-4x+
2
3

（I）求在點(diǎn)M（1，-3）處曲線C的切線方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)N（1，n）作曲線C的切線有三條，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．
（I）f'（x）=x2-4，f'（1）=-3，（2分）
∴曲線y=f（x）在M（1，-3）處的切線方程為y+3=-3（x-1），即3x+y=0（4分）
（II）過點(diǎn)N（1，n）向曲線y=f（x）作切線，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0）
則y0=
1
3
x03-4x0+
2
3
，k=f'（x0）=x02-4．
則切線方程為y-（
1
3
x03-4x0+
2
3
）=（x02-4）（x-x0）（6分）
將N（1，n）代入上式，整理得2x03-3x02+10+3n=0．
∵過點(diǎn)N（1，n）可作曲線y=f（x）的三條切線
∴方程2x03-3x02+10+3n=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根、（8分）
記g（x）=2x03-3x02+10+3n，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表
x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）
g'（x）+0-0+
g（x）遞增極大遞減極小遞增
當(dāng)x=0，g（x）有極大值10+3n；x=1，g（x）有極小值9+3n，（12分）
由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)
g(0)＞0
g(1)＜0
，即
10+3n＞0
9+3n＜0
，-
10
3
＜n＜-3時(shí)，
函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)、
此時(shí)過點(diǎn)N可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是(-
10
3
，-3)（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證:.

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在中的最大值和最小值分別是（      ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
3x2
．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程；
（3）求曲線y=f（x），y=|x|所圍成的圖形的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

曲線f（x）=
1
2
x2+4lnx上切線斜率所構(gòu)成的函數(shù)的極小值點(diǎn)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在x=
1
2
處的切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=2x-2，若存在x1∈（0，+∞），對(duì)于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2滿足-1＜x1＜1＜x2＜2．設(shè)λ=a2+b2-6a+2b+10，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若f′（x0）=2，則
lim
k→0
f(x0-k)-f(x0)
2k
的值為（　　）
A．-2B．2C．-1D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍。

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