Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A，B分別為左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過F作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)C，且直線AB與直線OC平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知定點(diǎn)M（3，0），P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若△OMP的重心軌跡經(jīng)過點(diǎn)（1，1），求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)A、B的坐標(biāo)，得到直線AB的斜率kAB=

b

a

，再根據(jù)F是橢圓的焦點(diǎn)且CF⊥x軸，結(jié)合橢圓方程得到點(diǎn)C坐標(biāo)（c，

b2

a

），于是直線OC的斜率為k_OC=

b2

ac

．最后根據(jù)直線AB與直線OC平行，利用斜率相等可得b=c，即可求得橢圓的離心率；
（2）由（1），可設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），△OMP重心G的坐標(biāo)為（x，y），據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的方法，可得點(diǎn)G的軌跡方程，因?yàn)镚的軌跡經(jīng)過點(diǎn)（1，1），所以將點(diǎn)（1，1）代入所求出的軌跡方程，即可得b²=9，從而得到橢圓的方程．

解答：解：（1）∵A（-a，0），B（0，b），∴直線AB的斜率kAB=

b

a

，
∵CF⊥x軸，∴將x=c代入橢圓方程得

y2

b2

=1-

c2

a2

=

b2

a2

，y=±

b2

a

（2分）
得點(diǎn)C坐標(biāo)為（c，

b2

a

），于是OC的斜率為k_OC=

b2 a

c

=

b2

ac

∵直線AB與直線OC平行，
∴k_AB=k_OC，即

b

a

=

b2

ac

，可得b=c（4分）
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

c

b2+c2

=

c

c2+c2

=

2

2

（6分）
（2）由（1），可設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，（b＞0）
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），△OMP重心G的坐標(biāo)為（x，y），據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式可得
∴

x= x0+3 3 y= y0 3

⇒

x0=3x-3 y0=3y

，得點(diǎn)P（3x-3，3y）（8分）
∵點(diǎn)P在橢圓

x2

2b2

+

y2

b2

=1上，
∴

(3x-3)2

2b2

+

9y2

b2

=1，此為點(diǎn)G的軌跡方程（10分）
∵G的軌跡經(jīng)過點(diǎn)（1，1），
∴b²=9，得到橢圓的方程為：

x2

18

+

y2

9

=1（12分）

點(diǎn)評：本題給出橢圓中兩條線段互相平行，求橢圓的離心率，并在已知三角形重心坐標(biāo)的情況下求橢圓的方程，著重考查了三角形重心公式、橢圓的基本概念和軌跡方程求法等知識點(diǎn)，屬于中檔題．