Question

11．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它們的夾角為120°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)．若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則$x+\frac{5}{2}y$的最大值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出∠AOC=α，用cosα，sinα表示出$\overrightarrow{OC}$，由此求出x，y的值，
再利用三角函數(shù)求x+$\frac{5}{2}$y的最大值．

解答 解：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
設(shè)∠AOC=α，則$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα），
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴（cosα，sinα）=（x，0）+（-$\frac{y}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）；
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=x-\frac{y}{2}}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα}\\{y=\frac{2sinα}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$；
∴x+$\frac{5}{2}$y=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$+cosα+$\frac{5sinα}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\sqrt{13}$sin（α+θ），其中tanθ=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$；
又sin（α+θ）≤1，∴x+$\frac{5}{2}$y≤$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量知識(shí)的運(yùn)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定x，y的關(guān)系式，是中檔題目．