Question

16．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），則它在A點(diǎn)處的切線方程為2$\sqrt{2}$x-4y+$\sqrt{2}$=0．

Answer 1

分析 先設(shè)出冪函數(shù)的解析式，然后根據(jù)題意求出解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{2}$處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成一般式即可．

解答 解：f（x）是冪函數(shù)，設(shè)f（x）=x^α
∵冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=（$\frac{1}{2}$）^α
∴α=$\frac{1}{2}$
∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$
f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
它在A點(diǎn)處的切線方程的斜率為f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又過點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴在A點(diǎn)處的切線方程為2$\sqrt{2}$x-4y+$\sqrt{2}$=0
故答案為：2$\sqrt{2}$x-4y+$\sqrt{2}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查冪函數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．