Question

對(duì)于函數(shù)f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對(duì)稱，求b的最小值．

 

Answer 1

（1）－1和3.

（2）(0,1)

（3）－

【解析】【解析】
(1)∵a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x2－x－3，

f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，

∴函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為－1和3.

(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為ax2＋bx＋b－1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，需有判別式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，

∴a的取值范圍為(0,1)．

(3)設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)，則x1＋x2＝－，

則A，B中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，即M(－，－)．

∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對(duì)稱，

且A，B在直線y＝x上，

∴k＝－1，A，B的中點(diǎn)M在直線y＝kx＋上．

∴－＝＋⇒b＝－＝－，

利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)，b的最小值為－.