Question

3．函數(shù)f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過點（16，3）和（1，-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求 g（x）的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意圖象過點（16，3）和（1，-1）．將坐標帶入函數(shù)f（x）=m+log_ax，求出m和a，即得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據函數(shù)f（x）的解析式求出g（x），利用復合函數(shù)的單調性求解最值．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過點（16，3）和（1，-1）．
則有：$\left\{\begin{array}{l}{3=m+lo{g}_{a}16}\\{-1=m+lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$，解得：m=-1，a=2，
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=-1+log₂x．
（2）由題意：g（x）=2f（x）-f（x-1），
那么：$g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+{log_2}x）-[-1+{log_{2（}}（x-1）]={log_2}\frac{x^2}{x-1}-1（x＞1）$，
令$u=\frac{{x}^{2}}{x-1}$（x＞1），則g（x）=log₂u在（0，+∞）上是單調遞增；
∵$\frac{x^2}{x-1}=\frac{{{{（x-1）}^2}+2（x-1）+1}}{x-1}=（x-1）+\frac{1}{x-1}+2≥2\sqrt{（x-1）\frac{1}{x-1}}+2=4$
當且僅當$x-1=\frac{1}{x-1}，即x=2時，等號成立$．
而函數(shù)g（x）=log₂u（u＞0）在（0，+∞）上單調遞增．
故當x=2時，函數(shù)g（x）取得最小值為1．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的計算機解析式的求法，復合函數(shù)的單調性求最值的問題．屬于中檔題．