Question

8．設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，滿足下列性質(zhì)：（1）f（0）≠0；（2）當x＜0時，f（x）＞1；（3）對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．
（I） 求f（0）及f（x）*f（-x）的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$是否具有奇偶性，并證明你的結論；
（Ⅲ）求證：y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（Ⅳ）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），求證：{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （I）令x=y=0得出f（0），令y=-x得出f（x）f（-x）=f（0）；
（II）求出g（x）的定義域，計算g（-x）并化簡得出結論；
（III）設x₁＜x₂，根據(jù)f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）得出$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，得出結論；
（IV）根據(jù)f（-x）f（x）=1得出a_n+1-a_n-2=0得出結論．

解答 解：（I）令x=y=0得f（0）=f²（0），又f（0）≠0，
∴f（0）=1．
令y=-x得f（x）f（-x）=f（0）=1．
（II）∵f（x）f（-x）=1，∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
∵x＜0時，f（x）＞1，∴x＞0時，0＜f（x）＜1，
由g（x）有意義得f（x）≠1，∴x≠0，
即g（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱．
∴g（-x）=$\frac{1+f（-x）}{1-f（-x）}$=$\frac{1+\frac{1}{f（x）}}{1-\frac{1}{f（x）}}$=$\frac{1+f（x）}{f（x）-1}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)．
證明：（III）設x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∵f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂），
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的減函數(shù)．
（IV）∵f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$，∴f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
∵f（x）f（-x）=1，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
又a₁=f（0）=1，
∴{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點評 本題考查了函數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用，函數(shù)奇偶性的判斷，單調(diào)性的判斷，等差數(shù)列的判斷，屬于中檔題．