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17.某同學用“五點法”畫函數f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據,如表:
ωx+φ 0$\frac{π}{2}$  π$\frac{3π}{2}$  2π
 x-$\frac{π}{12}$ $\frac{π}{6}$$\frac{5π}{12}$ $\frac{2π}{3}$$\frac{11π}{12}$
 f(x) 3-3
(1)請將表中數據補充完整,并直接寫出函數f(x)的解析式;
(2)若將函數f(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,得到函數g(x)的圖象,求當x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$]時,函數g(x)的值域;
(3)若將y=f(x)圖象上所有點向左平移θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=h(x)的圖象,若=h(x)圖象的一個對稱中心為($\frac{π}{12},0$),求θ的最小值.

分析 (1)由表中數據列關于ω、φ的二元一次方程組,求得A、ω、φ的值,得到函數解析式,進一步完成數據補充.
(2)根據函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律可求g(x),利用正弦函數的性質可求其值域.
(3)由(1)及函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律得g(x),令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ,解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ,k∈Z.令:$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$,結合θ>0即可解得θ的最小值.

解答 解:(1)根據表中已知數據,解得A=3,ω=2,φ=$\frac{π}{6}$,
數據補全如下表:

ωx+φ 0$\frac{π}{2}$  π$\frac{3π}{2}$  2π
 x-$\frac{π}{12}$ $\frac{π}{6}$$\frac{5π}{12}$ $\frac{2π}{3}$$\frac{11π}{12}$
 f(x) 3-3
函數表達式為f(x)=3sin(2x+$\frac{π}{6}$).
(2)將函數f(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,
得到圖象對于的函數解析式為:g(x)=3sin(x+$\frac{π}{6}$).
由x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$],可得:x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$],可得:sin(x+$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
可得:函數g(x)=3sin(x+$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{3}{2}$,3].
(3)若將y=f(x)圖象上所有點向左平移θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=h(x)的圖象,若h(x)圖象的一個對稱中心為($\frac{π}{12},0$),
由(Ⅰ)知f(x)=3sin(2x+$\frac{π}{6}$),得g(x)=3sin(2x+2θ+$\frac{π}{6}$).
因為y=sinx的對稱中心為(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ,解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ,k∈Z.
由于函數y=g(x)的圖象關于點($\frac{π}{12}$,0)成中心對稱,令:$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$,
解得θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$,k∈Z.由θ>0可知,當k=1時,θ取得最小值$\frac{π}{3}$.

點評 本題考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解函數解析式,函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的應用,考查了正弦函數的圖象和性質的應用,其中關鍵是要根據圖象分析出函數的最值,周期等,進而求出A,ω和φ值,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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 平均身高x(單位:cm) 170 174 176 181 179
 平均得分y62  6466  7068 
(1)根據表中數據,求y關于x的線性回歸方程;(系數精確到0.01)
(2)若M隊平均身高為185cm,根據(I)中所求得的回歸方程,預測M隊的平均得分(精確到0.01)
注:回歸當初$\widehat{y}=\widehatx+\widehat{a}$中斜率和截距最小二乘估計公式分別為$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$.

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