6.已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a<b<c,C=2A.
(1)若c=$\sqrt{2}$a,求角A;
(2)是否存在△ABC恰好使a,b,c是三個連續(xù)的自然數(shù)?若存在,求△ABC的周長;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由正弦定理有sinC=$\sqrt{2}$sinA,又C=2A,利用倍角公式可求2sinAcosA=$\sqrt{2}$sinA,結(jié)合sinA≠0,可得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即可得解A的值.
(2)設a=n,b=n+1,c=n+2,n∈N*.由已知利用二倍角公式可求cosA=$\frac{sinC}{2sinA}=\frac{c}{2a}$,由余弦定理得$\frac{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}-{n}^{2}}{2(n+1)(n+2)}$=$\frac{n+2}{2n}$,解得n=4,求得a,b,c的值,從而可求△ABC的周長.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵c=$\sqrt{2}$a,
∴由正弦定理有sinC=$\sqrt{2}$sinA.     …(2分)
又C=2A,即sin2A=$\sqrt{2}$sinA,
于是2sinAcosA=$\sqrt{2}$sinA,…(4分)
在△ABC中,sinA≠0,于是cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴A=$\frac{π}{4}$.     …(6分)
(2)根據(jù)已知條件可設a=n,b=n+1,c=n+2,n∈N*.
由C=2A,得sinC=sin2A=2sinAcosA,
∴cosA=$\frac{sinC}{2sinA}=\frac{c}{2a}$.   …(8分)
由余弦定理得$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c}{2a}$,代入a,b,c可得:
$\frac{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}-{n}^{2}}{2(n+1)(n+2)}$=$\frac{n+2}{2n}$,…(10分)
解得n=4,
∴a=4,b=5,c=6,從而△ABC的周長為15,
即存在滿足條件的△ABC,其周長為15.     …(12分)

點評 本題主要考查了正弦定理,二倍角公式,余弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.當x∈[0,2π]時,函數(shù)y=sinx的圖象與直線$y=-\frac{3}{4}$的公共點的個數(shù)為(  )
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

17.某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如表:
ωx+φ 0$\frac{π}{2}$  π$\frac{3π}{2}$  2π
 x-$\frac{π}{12}$ $\frac{π}{6}$$\frac{5π}{12}$ $\frac{2π}{3}$$\frac{11π}{12}$
 f(x) 3-3
(1)請將表中數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,求當x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$]時,函數(shù)g(x)的值域;
(3)若將y=f(x)圖象上所有點向左平移θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=h(x)的圖象,若=h(x)圖象的一個對稱中心為($\frac{π}{12},0$),求θ的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

14.若復數(shù)z滿足(1+i)z=i(i是虛數(shù)單位),則z=( 。
A.$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$B.-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$C.-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$D.$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.如圖是函數(shù)f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<$\frac{π}{2}$)的部分圖象,則f(3x0)=( 。
A.$\frac{1}{2}$B.-$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

11.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績,統(tǒng)計如下,則這100個成績的平均數(shù)為( 。
分數(shù)12345
人數(shù)2010401020
A.3B.2.5C.3.5D.2.75

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

18.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,若$∠{A_1}AB=∠{A_1}AD={60^0}$,且A1A=3,則A1C的長為$\sqrt{17}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.已知直線l過點A(2,a),B(a,-1),且與直線m:2x-y+2=0平行.
(Ⅰ)求直線l的方程;
(Ⅱ)過點A與l垂直的直線交直線m于點C,求線段BC的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.已知集合A={x|log2x>m},B={x|-4<x-4<4}.
(1)當m=2時,求A∪B,A∩B;
(2)若A⊆∁RB,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案