Question

（2013•�？诙�模）2013年，首都北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個(gè)月．經(jīng)氣象局統(tǒng)計(jì)，北京市從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣．《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》將空氣質(zhì)量指數(shù)分為六級(jí)：其中，中度污染（四級(jí)），指數(shù)為151-200；重度污染（五級(jí)），指數(shù)為201-300；嚴(yán)重污染（六級(jí)），指數(shù)大于300． 下面表1是該觀測(cè)點(diǎn)記錄的4天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）的情況，表2是某氣象觀測(cè)點(diǎn)記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，
表1：AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）情況

AQI指數(shù)	900	700	300	100
空氣可見度 （千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表2：北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

AQI指數(shù)	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數(shù)	3	6	12	6	3

（Ⅰ）設(shè)變量x=

M

100

，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）根據(jù)表2估計(jì)這30天AQI指數(shù)的平均值．
（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式b=

n i-1 xiyi-n . xy

n i-1 x 2 i -n -2 x

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，由數(shù)據(jù)可求得b和a的值，可得回歸方程；
（Ⅱ）分別可得各段的頻率，由平均數(shù)的定義可得．

解答：解：（Ⅰ）由x=

M

100

結(jié)合圖表，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，
∴

.

x

=

1

4

（900+700+300+100）=5，

.

y

=

1

4

（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，
∴

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

xi2=9²+7²+3²+1²=140，
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5（-

21

20

）=

41

4

∴y關(guān)于x的線性回歸方程是y=-

21

20

x+

41

4

（Ⅱ）由表2知AQI指數(shù)的頻率分別為

3

30

=0.1，

6

30

=0.2，

12

30

=0.4，

6

30

=0.2，

3

30

=0.1，
故這30天AQI指數(shù)的平均值為：100×0.1+300×0.2+500×0.4+700×0.2+900×0.1=500

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程和平均數(shù)的定義，計(jì)算能力是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．