Question

5．已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*）．我們把使乘積a₁•a₂•a₃•…•a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“完美數(shù)”，則在區(qū)間（1，2016）內(nèi)的所有完美數(shù)的和為（　　）

• A． 1024
• B． 2003
• C． 2026
• D． 2048

Answer 1

分析 a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），當(dāng)n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊時(shí)，n稱為完美數(shù)，在區(qū)間（1，2016）中找出所有的完美數(shù)之后用數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：∵a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），
當(dāng)n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊時(shí)，n稱為完美數(shù)，
在區(qū)間（1，2016）內(nèi)的完美數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2ⁿ-2，當(dāng)2ⁿ-2≤2016時(shí)，n≤10．
∴在區(qū)間（1，2016）內(nèi)所有的完美數(shù)的和S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+2⁴+…2¹⁰）-18
=$\frac{{2}^{2}×（1-{2}^{9}）}{1-2}$-18=2026，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)列和的求法，把a(bǔ)₁•a₂…a_n化簡轉(zhuǎn)化為對數(shù)的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．