Question

①已知a+b=1，求證：a²+b²＞

1

4

；
②已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²-3n-2，求證數(shù)列{

Sn

2n+1

}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,基本不等式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①由a+b=1，知a=1-b，從而得到a²+b²=2b²-2b+1，由此利用配方法能證明a²+b²＞

1

4

．
②由

Sn

2n+1

=

2n2-3n-2

2n+1

=

(n-2)(2n+1)

2n+1

=n-2，能證明數(shù)列{

Sn

2n+1

}是等差數(shù)列．

解答： ①證明：∵a+b=1，∴a=1-b，
∴a²+b²=1-2b+b²+b²
=2b²-2b+1
=2（b-

1

2

）²+

1

2

≥

1

2

＞

1

4

，
∴a²+b²＞

1

4

．
②∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²-3n-2，
∴

Sn

2n+1

=

2n2-3n-2

2n+1

=

(n-2)(2n+1)

2n+1

=n-2，
∴數(shù)列{

Sn

2n+1

}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查等差數(shù)列的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．