Question

如圖，已知雙曲線

x2

4

-y²=1的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任一點(diǎn)，過F₂作∠F₁PF₂的平分線的垂線，垂足為M，過M作y軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q的軌跡所在曲線方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：點(diǎn)F₂關(guān)于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對稱點(diǎn)Q′在直線F₁P上，故|F₁Q′|=|PF₁|-|PF₂|=2a=4，又OM是△F₂F₁Q′的中位線，故|OM|=2，由此可以求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：點(diǎn)F₂關(guān)于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對稱點(diǎn)Q′在直線F₁P上，
故|F₁Q′|=|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
又OM是△F₂F₁Q′的中位線，故|OM|=2，
設(shè)M（x，y），則Q（2x，y），
所以有4x²+y²=4，
故答案為：4x²+y²=4．

點(diǎn)評：本題主要應(yīng)用角分線的性質(zhì)解決問題，從而轉(zhuǎn)化為利用雙曲線的定義，同時(shí)解題中利用了代入法求軌跡方程．