Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，短軸長為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l過P(-

1

2

，

1

2

)且與橢圓相交于A，B兩點，當P是AB的中點時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可得

b=c 2b=2 a2=b2+c2

，解出即可；
（Ⅱ）分情況進行討論：當直線l的斜率存在時，利用平方差法：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程作差，根據(jù)斜率公式、中點坐標公式即可求得斜率，再由點斜式即可求得此時直線方程；當直線斜率不存在時，求出點A、B坐標，檢驗即可；

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．                          
（Ⅰ）由已知可得

b=c 2b=2 a2=b2+c2

⇒

a2=2 b2=1 c2=1

．                     
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．                           
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x+

1

2

)+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，兩式相減得：

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

．
∵P是AB的中點，∴

x1+x2

2

=-

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

，
代入上式可得直線AB的斜率為k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直線l的方程為2x-4y+3=0．
當直線l的斜率不存在時，將x=-

1

2

代入橢圓方程并解得A(-

1

2

，

14

4

)，B(-

1

2

，-

14

4

)，
這時AB的中點為(-

1

2

，0)，∴x=-

1

2

不符合題設要求．
綜上，直線l的方程為2x-4y+3=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，凡涉及弦中點問題一般可考慮“平方差”法，即設出弦端點坐標，代入圓錐曲線方程作差，由中點坐標公式及斜率公式可得弦斜率及中點坐標關系．