Question

已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，
（Ⅰ）求這個(gè)組合體的表面積；
（Ⅱ）若組合體的底部幾何體記為ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中A₁B₁BA為正方形、
（i）求證：A₁B⊥平面AB₁C₁D；
（ii）是否存在棱A₁D₁上一點(diǎn)P，使直線AP與平面AB₁C₁D所成角為30°？

Answer 1

分析：（I）由三視圖知組合體底部為長(zhǎng)方體，上部為半個(gè)圓柱 長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為8，8，10，做出長(zhǎng)方體所露出的部分的表面積，做出半個(gè)圓柱的表面積，得到結(jié)果．
（II）（i）要證明線與面垂直，需要先在面上找出兩條相交直線，證明這兩條相交直線與已知直線垂直，選擇的線是AD，AB₁
（i）建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)作出面的法向量，根據(jù)直線的方向向量與面的法向量之間的角是60度，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角公式，列出關(guān)于x的方程，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）此組合體底部為長(zhǎng)方體，上部為半個(gè)圓柱
長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為8，8，10，
∴長(zhǎng)方體所露出的部分的表面積是2×8×8+2×8×10+8×10=368
半個(gè)圓柱的表面積是π×4×10+4×4×π=56π，
∴空間組合體的表面積是368+56π
（Ⅱ）（i）∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴AD⊥平面A₁B₁BA
∵A₁B?平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁B
又∵A₁B₁BA是邊長(zhǎng)為8的正方形

∴A₁B⊥AB₁
∵AB₁∩AD=A
∴A₁B⊥平面AB₁C₁D．
（ii）存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足條件，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立坐標(biāo)系，
A（10，0，O），A₁（10，0，8），B（10，8，0），P（x，0，8）
由題意知AB₁是面的一個(gè)法向量

A1B

=(0，8，-8)，

AP

=(x-10，0，8)，
∵直線AP與平面AB₁C₁D所成角為30°，
∴

-64

8 2 × 64+(x-10)2

=-

1

2

，
∴x²-20x+36=0
∴x=2，或x=18（舍去）
∴存在一個(gè)點(diǎn)P，這個(gè)點(diǎn)在距離D₁長(zhǎng)度為2的地方．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由三視圖還原實(shí)物圖的能力，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，平面展開(kāi)圖的運(yùn)用，解決此題的關(guān)鍵是要求考生具備很強(qiáng)的空間想象能力．