Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（0）=5，x＞0時，f(x)=x+

4

x

（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上遞減，（2，+∞）上遞增；
（3）當(dāng)x∈[-1，t]時，函數(shù)f（x）的取值范圍是[5，+∞），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求x＜0時的解析式，根據(jù)偶函數(shù)f（x）的性質(zhì)，先設(shè)x＜0時，f（x）=f（-x）即可求得；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，作差f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

與0比較即可；
（3）利用y=f（x）的圖象，如圖，欲使得函數(shù)f（x）的取值范圍是[5，+∞），易知t的取值范圍．

解答：解：（1）x＜0時，f(x)=f(-x)=-x-

4

x

；（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

而x₁-x₂＜0，0＜x₁•x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，2）上遞減；
再任取x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂同理可得：
函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上遞增．
（3）利用y=f（x）的圖象，如圖，
函數(shù)f（x）的取值范圍是[5，+∞），易知t∈[0，1]．（4分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．