Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）．若f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上具有單調(diào)性，且f（-$\frac{π}{3}$）=f（0）=-f（$\frac{2π}{3}$），則ω=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得可得函數(shù)f（x）的一條對稱軸，結(jié)合對稱軸的定義和周期的定義可以得到該函數(shù)的最小正周期，由此求得ω的值．

解答 解：∵f（-$\frac{π}{3}$）=f（0），
∴函數(shù)f（x）的一條對稱軸方程為x=$\frac{-\frac{π}{3}+0}{2}$=-$\frac{π}{6}$．
則x=$\frac{2π}{3}$離最近對稱軸距離為|-$\frac{π}{6}$-$\frac{2π}{3}$|=$\frac{5π}{6}$
又f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{2π}{3}$），且f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上具有單調(diào)性，
∴故0離最近對稱軸的距離也為$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{T}{2}$=2×$\frac{5π}{6}$+（$\frac{2π}{3}$-0）=$\frac{7π}{3}$，
則$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{3}$，
故ω=$\frac{6}{7}$．
故答案是：$\frac{6}{7}$．

點評 本題考查f（x）=Acos（ωx+φ）型圖象的形狀，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，是中檔題．