設(shè)函數(shù).
(1)設(shè),,,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);
(2)設(shè),若對任意、,有,求的取值范圍.
(1)詳見解析;(2).
解析試題分析:(1)利用零點(diǎn)存在定理說明在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),然后利用函數(shù)的單調(diào)性來說明零點(diǎn)的唯一性;(2)先確定函數(shù)的解析式,將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為“在上的最大值與最小值之差”,對二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論,從而求解出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)當(dāng),,時(shí),,
,在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),
又當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間是單調(diào)遞增的,在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);
(2)當(dāng)時(shí),,
對任意、都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差,
據(jù)此分類討論如下:
(i)當(dāng)時(shí),即時(shí),,與題設(shè)矛盾!
(ii)當(dāng),即時(shí),恒成立;
(iii)當(dāng),即時(shí),.
綜上所述,.
考點(diǎn):1.零點(diǎn)存在定理;2.分類討論
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
學(xué)校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,,與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線,拋物線的頂點(diǎn)為,對稱軸與地面垂直,溝深2米,溝中水深1米.
(1)求水面寬;
(2)如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體,已知柱體的體積為底面積乘以高,求溝中的水有多少立方米?
(3)現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝,使溝的底面與地面平行,溝深不變,兩腰分別與拋物線相切(如圖2),問改挖后的溝底寬為多少米時(shí),所挖的土最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定義在R上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),
,且.
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程有解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每小時(shí)可獲得利潤是100(5x+1-)元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1km,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)求炮的最大射程;
(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2km,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
要制作一個如圖的框架(單位:m),要求所圍成的總面積為19.5(m2),其中ABCD是一個矩形,EFCD是一個等腰梯形,梯形高h(yuǎn)=AB,tan∠FED=,設(shè)AB=xm,BC=y(tǒng)m.
(1)求y關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)如何設(shè)計(jì)x、y的長度,才能使所用材料最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
有一種新型的洗衣液,去污速度特別快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=k·f(x),其中f(x)=若多次投放,則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次k個單位的洗衣液,兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3(克/升),求k的值;
(2)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘?
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