Question

【題目】已知函數．
（1）證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數；
（2）用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數根．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

證明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x1<x2，

由于a>1，ax1<ax2，∴ax2－ax1>0.

又∵x1＋1>0，x2＋1>0，

∴

>0，

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋ >0，

即f(x2)>f(x1)，

故函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．

（2）

【解答】

證明：假設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，

則ax0＝－ .

∵a>1，

∴0<ax0<1.

∴0<－ <1，即 <x0<2，與假設x0<0相矛盾，

故方程f(x)＝0沒有負數根．

【解析】本題主要考查了綜合法的思考過程、特點及應用、反證法的應用，解決問題的關鍵是(1)根據所給條件結合所求命題綜合分析計算即可；(2)運用反證法的證明方法進行證明即可.