【題目】已知f(x)=ex﹣ax2,曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=bx+1.

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)在[0,1]上的最大值;

(3)證明:當(dāng)x>0時(shí),ex+(1﹣e)x﹣xlnx﹣1≥0.

【答案】(1)a=1,b=e﹣2;(2)f(x)max=f(1)=e﹣1;(3)見解析

【解析】試題分析:

(1)由切線方程研究函數(shù)可得a=1,b=e﹣2;

(2)對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo),結(jié)合二階導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得最大值為;

(3)利用(2)中的結(jié)論結(jié)合題意猜想x>0,x≠1時(shí),f(x)的圖象恒在切線y=(e﹣2)x+1的上方,利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論,注意等號(hào)成立的條件.

試題解析:

解:(1)f′(x)=ex﹣2ax,∴f′(1)=e﹣2a=b,f(1)=e﹣a=b+1,

解得:a=1,b=e﹣2;

(2)由(1)得:f(x)=ex﹣x2,f′(x)=ex﹣2x,f″(x)=ex﹣2,

∴f′(x)在(0,ln2)遞減,在(ln2,+∞)遞增,

∴f′(x)≥f′(ln2)=2﹣2ln2>0,∴f(x)在[0,1]遞增,

∴f(x)max=f(1)=e﹣1;

(3)∵f(0)=1,由(2)得f(x)過(1,e﹣1),

且y=f(x)在x=1處的切線方程是y=(e﹣2)x+1,

故可猜測x>0,x≠1時(shí),f(x)的圖象恒在切線y=(e﹣2)x+1的上方,

下面證明x>0時(shí),f(x)≥(e﹣2)x+1,

設(shè)g(x)=f(x)﹣(e﹣2)x﹣1,x>0,

g′(x)=ex﹣2x﹣(e﹣2),g″(x)=ex﹣2,

由(2)得:g′(x)在(0,ln2)遞減,在(ln2,+∞)遞增,

∵g′(0)=3﹣e>0,g′(1)=0,0<ln2<1,

∴g′(ln2)<0,

∴存在x0∈(0,1),使得g′(x)=0,

∴x∈(0,x0)∪(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,

x∈(x0,1)時(shí),g′(x)<0,

故g(x)在(0,x0)遞增,在(x0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,

又g(0)=g(1)=0,∴g(x)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”,故≥x,x>0,

由(2)得:ex≥x+1,故x≥ln(x+1),

∴x﹣1≥lnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”,

≥x≥lnx+1,即≥lnx+1,

∴ex+(2﹣e)x﹣1≥xlnx+x,

即ex+(1﹣e)x﹣xlnx﹣1≥0成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立.

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(3)將這6人作為輔導(dǎo)員安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中,每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名輔導(dǎo)員;求丁、戊、己恰好被安排在同一項(xiàng)活動(dòng)中的概率.

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① 若, , ,則;

② 若 ,則;

③ 若 ,則;

④ 若, , ,則.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )

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A.多于4個(gè) B.4個(gè)

C.3個(gè) D.2個(gè)

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