Question

12．向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx-sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，a-$\sqrt{3}$），x，a∈R，a為常數(shù)．
（1）求y=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最小值為-2，求a的值；
（3）用五點(diǎn)作圖法作出（2）結(jié)論中函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式即可求y=f（x）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，根據(jù)f（x）的最小值為-2，建立方程關(guān)系即可求a的值；
（3）利用五點(diǎn)作圖法，即可作出（2）結(jié)論中函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．

解答 解：（1）y=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx-sinx）×2cosx+a-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx+a-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-sin2x+a-$\sqrt{3}$=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
即y=f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+a；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=π時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)y=-2+a=-2，
解得a=0；
（3）由（2）知f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），

x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	2	0	-2	0

則函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象為：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用向量數(shù)量積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．