Question

3．若雙曲線mx²+y²=1（m＜-1）的離心率恰好是實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)的等比中項(xiàng)，則m=-7-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，結(jié)合離心率恰好是實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)的等比中項(xiàng)，建立方程關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}$=1（m＜-1），
則焦點(diǎn)在y軸上，且a=1，b²=-$\frac{1}{m}$，
∵離心率恰好是實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)的等比中項(xiàng)，
∴e²=2a•2b=4ab，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4ab，
則c²=4b，即1+b²=4b，
平方得1+2b²+b⁴=16b²，
即b⁴-14b²+1=0，
則$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{14}{m}$+1=0，
則1+14m+m²=0
即m=$\frac{-14±\sqrt{196-4}}{2}$=$\frac{-14±8\sqrt{3}}{2}$=-7±4$\sqrt{3}$，
∵m＜-1，
∴m=-7-4$\sqrt{3}$，
故答案為：$-4\sqrt{3}-7$；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．