【題目】設函數f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)當時,恒成立,求a的取值范圍.(其中,e=2.718…為自然對數的底數).
【答案】(I)在上單調遞減,在上單調遞增;(II).
【解析】
試題分析:(I)求出函數的導函數,分和兩種情況,判斷在上的符號變化情況,得到其單調性;(II)令,只需在上恒大于即可,又,故在處必大于等于.構造函數,由可得,對函數求導,判斷其符號得其單調性,求出其值域,可得到函數單調性遞增,所以.
試題解析:(I)由題意得:
當時,上單調遞減.
當時,,當時,,
當時,故在上單調遞減,在上單調遞增.
(II)原不等式等價于在上恒成立,
一方面,令
只需在上恒大于0即可,
又,故在處必大于等于0.
令可得.
另一方面,當時,
又,,,故在時恒大于0,
當時,在單調遞增.
故也在單調遞增.
即在上恒大于0..
綜上,.
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【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,右頂點為,直線過原點,且點在x軸的上方,直線與分別交直線:于點、.
(1)若點,求橢圓的方程及△ABC的面積;
(2)若為動點,設直線與的斜率分別為、.
①試問是否為定值?若為定值,請求出;否則,請說明理由;
②求△AEF的面積的最小值.
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【題目】劉老師是一位經驗豐富的高三理科班班主任,經長期研究,他發(fā)現高中理科班的學生的數學成績(總分150分)與理綜成績(物理、化學與生物的綜合,總分300分)具有較強的線性相關性,以下是劉老師隨機選取的八名學生在高考中的數學得分x與理綜得分y(如下表):
學生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數學分數x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理綜分數y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
參考數據及公式: .
(1)求出y關于x的線性回歸方程;
(2)若小汪高考數學110分,請你預測他理綜得分約為多少分?(精確到整數位);
(3)小金同學的文科一般,語文與英語一起能穩(wěn)定在215分左右.如果他的目標是在
高考總分沖擊600分,請你幫他估算他的數學與理綜大約分別至少需要拿到多少分?(精確到整數位).
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【題目】已知關于的一次函數.
(1)設集合和,分別從集合和中隨機取一個數作為和,求函數是增函數的概率;
(2)實數滿足條件,求函數的圖象經過第一、二、三象限的概率.
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【題目】2017年天貓五一活動結束后,某地區(qū)研究人員為了研究該地區(qū)在五一活動中消費超過3000元的人群的年齡狀況,隨機在當地消費超過3000元的群眾中抽取了500人作調查,所得概率分布直方圖如圖所示:記年齡在, , 對應的小矩形的面積分別是,且.
(1)以頻率作為概率,若該地區(qū)五一消費超過3000元的有30000人,試估計該地區(qū)在五一活動中消費超過3000元且年齡在的人數;
(2)若按照分層抽樣,從年齡在的人群中共抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人作深入調查,求至少有1人的年齡在內的概率.
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