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【題目】設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）討論f(x)的單調性；

（Ⅱ）當時，恒成立，求a的取值范圍.(其中，e=2.718…為自然對數的底數).

【答案】（I）在上單調遞減，在上單調遞增；（II）.

【解析】

試題分析：（I）求出函數的導函數，分和兩種情況，判斷在上的符號變化情況，得到其單調性；（II）令，只需在上恒大于即可，又，故在處必大于等于.構造函數，由可得，對函數求導，判斷其符號得其單調性，求出其值域，可得到函數單調性遞增，所以.

試題解析：（I）由題意得：

當時，上單調遞減.

當時，，當時，，

當時，故在上單調遞減，在上單調遞增.

（II）原不等式等價于在上恒成立，

一方面，令

只需在上恒大于0即可，

又，故在處必大于等于0.

令可得.

另一方面，當時，

又，，，故在時恒大于0，

當時，在單調遞增.

故也在單調遞增.

即在上恒大于0..

綜上，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，右頂點為，直線過原點，且點在x軸的上方，直線與分別交直線：于點、.

（1）若點，求橢圓的方程及△ABC的面積；

（2）若為動點，設直線與的斜率分別為、.

①試問是否為定值？若為定值，請求出；否則，請說明理由；

②求△AEF的面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，函數，其中.

（1）如果函數與在處的切線均為，求切線的方程及的值；

（2）如果曲線與有且僅有一個公共點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】劉老師是一位經驗豐富的高三理科班班主任，經長期研究，他發(fā)現高中理科班的學生的數學成績（總分150分）與理綜成績（物理、化學與生物的綜合，總分300分）具有較強的線性相關性，以下是劉老師隨機選取的八名學生在高考中的數學得分x與理綜得分y（如下表）：

學生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

數學分數x

52

64

87

96

105

123

132

141

理綜分數y

112

132

177

190

218

239

257

275

參考數據及公式： ．

（1）求出y關于x的線性回歸方程；

（2）若小汪高考數學110分，請你預測他理綜得分約為多少分？（精確到整數位）；

（3）小金同學的文科一般，語文與英語一起能穩(wěn)定在215分左右．如果他的目標是在

高考總分沖擊600分，請你幫他估算他的數學與理綜大約分別至少需要拿到多少分？（精確到整數位）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知關于的一次函數.

（1）設集合和，分別從集合和中隨機取一個數作為和，求函數是增函數的概率；

（2）實數滿足條件，求函數的圖象經過第一、二、三象限的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若對于任意的，若函數在區(qū)間上有最值，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2017年天貓五一活動結束后，某地區(qū)研究人員為了研究該地區(qū)在五一活動中消費超過3000元的人群的年齡狀況，隨機在當地消費超過3000元的群眾中抽取了500人作調查，所得概率分布直方圖如圖所示：記年齡在， ， 對應的小矩形的面積分別是，且.

（1）以頻率作為概率，若該地區(qū)五一消費超過3000元的有30000人，試估計該地區(qū)在五一活動中消費超過3000元且年齡在的人數；

（2）若按照分層抽樣，從年齡在的人群中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人作深入調查，求至少有1人的年齡在內的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,棱形的邊長為6, ,.將棱形沿對角線折起,得到三棱錐,點是棱的中點, .

（Ⅰ）求證：∥平面;

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數.

（1）當時，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論的單調性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

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