【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中.

（1）如果函數(shù)與在處的切線均為，求切線的方程及的值；

（2）如果曲線與有且僅有一個公共點，求的取值范圍.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）和在處的切線相同，則在該點出的導(dǎo)數(shù)相等，從而求解的值，以及切線的方程；（2）設(shè)函數(shù)，則將原問題轉(zhuǎn)化為有有唯一解，然后對進行分類討論即可.

試題解析：（1）解：求導(dǎo)，得.

由題意，得切線的斜率，即，解得.

又切點坐標為，所以切線的方程為.

（2）解：設(shè)函數(shù).

“曲線與有且僅有一個公共點”等價于“函數(shù)有且僅有一

個零點”. 求導(dǎo)，得.

① 當時，

由，得，所以在單調(diào)遞增.

又因為，所以有且僅有一個零點，符合題意.

②當時，

當變化時，與的變化情況如下表所示：

0

↘

↗

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當時，，

故有且僅有一個零點，符合題意.

③ 當時，

令，解得.

當變化時，與的變化情況如下表所示：

-

0

↘

↗

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當時，.

因為，且在上單調(diào)遞增，

所以.

又因為存在 ，

所以存在使得，

所以函數(shù)存在兩個零點，，與題意不符.

綜上，曲線與有且僅有一個公共點時，的范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為，動點滿足：直線與直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于兩點，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線上的點到焦點的距離.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）如圖，直線與拋物線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點是.求證：直線恒過一定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以邊長為4的等比三角形的頂點以及邊的中點為左、右焦點的橢圓過兩點.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）過點且軸不垂直的直線交橢圓于兩點，求證直線與的交點在一條直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:的離心率為，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)動直線與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線， 的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角梯形PBCD中，，，，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且，如圖．

（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為.

（1）求橢圓的方程式；

（2）已知動直線與橢圓相交于兩點.

①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，恒成立，求a的取值范圍.(其中，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，

其中，若函數(shù)，且它的最小正周期為．

（普通中學(xué)只做1，2問）

（1）求的值，并求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當（其中）時，記函數(shù)的最大值與最小值分

別為與，設(shè)，求函數(shù)的解

析式；

（3）在第（2）問的前提下，已知函數(shù)， ，若對于任意， ，總存在，使得

成立，求實數(shù)t的取值范圍.

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