Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線x²=4y的準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為k₁和k₂，若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，求△MON的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線x²=4y的準(zhǔn)線上，列出方程組求出a=2，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，（m≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出△MON的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線x²=4y的準(zhǔn)線上，
x²=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}]}$=$\frac{4\sqrt{（{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{4{k}^{2}+1}$，
點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
${S}_{△MON}=\frac{1}{2}|MN|d=\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$，
∵k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+km×\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}+{m}^{2}}{\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴4k²=2m²-1，
∴S_△MON=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、三角形面積的求法，考查韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、直線方程、橢圓性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．