Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-4m|+|x+$\frac{1}{m}$|（m＞0）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥4；
（Ⅱ）若k為f（x）的最小值，且a+b=k（a＞0，b＞0），求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義直接證明：f（x）≥4；
（Ⅱ）利用（1）的結(jié)果，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：$f（x）=|x-4m|+|x+\frac{1}{m}|≥|4m+\frac{1}{m}|=4|m|+|\frac{1}{m}|≥4$，
當(dāng)且僅當(dāng)$|m|=\frac{1}{2}$時(shí)取“=”號(hào)．
（Ⅱ）解：由題意知，k=4，即a+b=4，即$\frac{a}{4}+\frac{4}=1$，
則$\frac{1}{a}+\frac{4}=（\frac{1}{a}+\frac{4}）（\frac{a}{4}+\frac{4}）=\frac{5}{4}+\frac{4a}+\frac{a}≥\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{4}{3}$，$b=\frac{8}{3}$時(shí)取“=”號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，不等式的證明，考查計(jì)算能力．