Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為常數(shù)，且a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N）．
（1）證明：當(dāng)a₁為不等于

3

5

的常數(shù)時(shí)，{a_n-

3n

5

}是等比數(shù)列；
（2）若a₁=

3

2

，{a_n}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，說(shuō)明理由．
（3）若{a_n}是遞增數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用條件得到連結(jié)兩項(xiàng)的比為定值，得到本題結(jié)論；（2）假設(shè)存符合條件的連續(xù)三項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)的特征，得到相應(yīng)關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到項(xiàng)數(shù)m的值，得到本題結(jié)論；（3）對(duì)（a₁-

3

5

）的符號(hào)進(jìn)行分類討論，得到關(guān)于n的恒成立問(wèn)題，再聯(lián)系到n的奇偶數(shù)情況，求出相關(guān)代數(shù)式的最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N），
∴an+1-

3n+1

5

=3ⁿ-2a_n-

3n+1

5

=

2

5

×3n-2a_n=-2（a_n-

3n

5

）．
∵a₁為不等于

3

5

的常數(shù)時(shí)
∴an-

3n

5

≠0．
∴

an+1- 3n+1 5

an- 3n 5

=-2．
∴{a_n-

3n

5

}是等比數(shù)列；
（2）{a_n}中是存在連續(xù)三項(xiàng)a₂，a₃，a₄成等差數(shù)列，以下證明．
∵a₁=

3

2

，
∴a1-

3

5

=

9

10

，
∴{a_n-

3n

5

}是以

9

10

為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列；
∴a_n-

3n

5

=

9

10

×（-2）^n-1，n∈N^*．
∴a_n=

9

10

×（-2）^n-1+

3n

5

，n∈N^*．
假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，這三項(xiàng)分別為：a_m，a_m+1，a_m+2，
則有：2a_m+1=a_m+a_m+2，
即2×

9

10

×（-2）^m+2×

3m+1

5

=

9

10

×(-2)m-1+

3m

5

+

9

10

×(-2)m+1+

3m+2

5

，
化簡(jiǎn)得：(-

3

2

)m-1=-

27

8

，
∴m=4．
∴{a_n}中是存在連續(xù)三項(xiàng)a₄，a₅，a₆成等差數(shù)列．
（3）由（1）知：
（i）當(dāng)a₁=

3

5

時(shí)，
a_n=

3n

5

，a_n+1=

3n+1

5

＞

3n

5

=a_n，{a_n}是遞增數(shù)列；
當(dāng)a₁≠

3

5

時(shí)，{a_n-

3n

5

}是首項(xiàng)為a1-

3

5

，公比為-2的等比數(shù)列．
∴a_n-

3n

5

=（a1-

3

5

）×（-2）^n-1，
∴a_n=

3n

5

+（a1-

3

5

）×（-2）^n-1，
∵{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a_n＜a_n+1，n∈N^*．
∴

3n

5

+（a1-

3

5

）×（-2）^n-1＜

3n+1

5

+（a₁-

3

5

）×（-2）ⁿ對(duì)于n∈N^*恒成立．
∴3（a₁-

3

5

）（-2）^n-1＜

2

5

×3ⁿ，…（*）．
（ii）當(dāng)a₁＞

3

5

時(shí)，
①n為偶數(shù)時(shí)，（-2）^n-1＜0，（*）式恒成立，
②n為正奇數(shù)時(shí)，（-2）^n-1＞0，（*）式可化為：

15

4

（a 1-

3

5

）＜（

3

2

）ⁿ．
∵（

3

2

）ⁿ單調(diào)遞增，∴(

3

2

)n≥

3

2

，
∴

15

4

（a 1-

3

5

）＜

3

2

，
即a₁＜1．
∴

3

5

＜a1＜1；
（iii）當(dāng)a₁＜

3

5

時(shí)，
①n為正奇數(shù)時(shí)，（-2）^n-1＞0，（*）式恒成立，
②n為偶數(shù)時(shí)，（-2）^n-1＜0，（*）式可化為：

15

4

（a 1-

3

5

）＞-（

3

2

）ⁿ，
∵-（

3

2

）ⁿ單調(diào)遞減，∴-(

3

2

)n≤-(

3

2

)2，
∴

15

4

（a 1-

3

5

）＞-

9

4

，即a₁＞0，
∴0＜a1＜

3

5

．
綜上，0＜a₁＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，還重點(diǎn)考查了分類討論、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的難度和計(jì)算量，屬于中檔題．