Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-6x+b（b＞0）在x=2處取得極值．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個零點，求f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（2）=0，解方程可得a，再由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）由f（x）的單調(diào)區(qū)間，可得f（-1）為極大值b+$\frac{7}{2}$，f（2）為極小值b-10，由b＞0且f（x）有兩個零點，可得b=10，求得f（x）在x=1處切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²-6x+b（b＞0）的導數(shù)為
f′（x）=3x²+2ax-6，
由f（x）在x=2處取得極值，
可得f′（2）=12+4a-6=0，
解得a=-$\frac{3}{2}$，
即有f′（x）=3x²-3x-6，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜-1；
由f′（x）＜0，可得-1＜x＜2．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞）；減區(qū)間為（-1，2）；
（2）由f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+b（b＞0），
由f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞）；減區(qū)間為（-1，2），
可得f（-1）為極大值b+$\frac{7}{2}$，f（2）為極小值b-10，
由f（x）有兩個零點，可得b-10=0，
即b=10，
f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+10的導數(shù)為f′（x）=3x²-3x-6，
可得f（x）在x=1處的切線斜率為-6，
切點為（1，$\frac{7}{2}$），
則f（x）在x=1處的切線方程為y-$\frac{7}{2}$=-6（x-1），
即為12x+2y-19=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．